COMO GRAFICAR FUNCIONES

Gráfica de una función Caso general Para representar una función debemos seguir los siguientes pasos: El primer paso es encontrar el dominio . El segundo paso es encontrar los cortes con los ejes e . El tercer paso es encontrar el signo de la función en los intervalos en los que no existe el dominio o hay un corte con el eje . El cuarto paso es calcular las asíntotas que puede tener la función (horizontales, oblicuas y verticales). El quinto paso es buscar los posibles extremos igualando la primera derivada a 0. El sexto paso es estudiar la monotonía de la función. Es decir, los intervalos en los que crece o decrece. El séptimo paso es encontrar los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a 0. El octavo paso es estudiar la forma (cóncava o convexa) de la función. Ejemplo Vamos a estudiar la representación gráfica de la función . Dominio. Los puntos en los que la función no existe son los que el denominador vale 0. Por lo tanto: Es decir, el dominio será: Cortes con los ejes. Los cortes con el eje se encuentran cuando y el corte con el eje cuando . Por lo tanto: Cortes eje : Cortes eje : Signo. El signo de un intervalo no cambia a menos que haya una discontinuidad o un corte en el eje . Por tanto, para estudiar el signo vamos a usar los intervalos dónde tenemos la seguridad que el signo no va a cambiar, que son los siguientes: Asíntotas. Verticales: Las asíntotas verticales ocurren cuando la función tiende a infinito por un valor real de la variable. Es decir, cuando el denominador es igual a 0. Para encontrarlas debemos hacer el límite cuando tiende a esos valores. Por lo que hay una asíntota vertical y un punto vacío para . Horizontales: Si el límite cuando tiende a un número, decimos que hay asíntota horizontal. Por lo que hay asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda. Además, no habrá ninguna asíntota oblicua. Posibles extremos. Los extremos relativos se encuentran buscando los valores por los que . Por lo tanto, primero debemos encontrar la derivada de la función: Y ahora buscar los valores por los cuales vale cero: No tiene solución, por lo que no habrá extremos relativos. Crecimiento. Vamos a estudiar los intervalos en los que la primera derivada es positiva o negativa, es decir, los intervalos en los que la función crece o decrece. Por lo que la función crece en la totalidad de sus puntos. Puntos de inflexión. A partir de la segunda derivada vamos a encontrar los puntos de inflexión. Igual que antes, no tiene solución, por lo que no hay puntos de inflexión.  Gráfica

GRÁFICO DE FUNCIONES POLINÓMICAS

LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS

 

Definición

La definición general de funcion  hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definiciòn formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto.

CLASIFICACIÒN DE LAS FUNCIONES MATEMATICAS.

Clasificación de funciones:

Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x − 2 Funciones implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x − y − 2 = 0 Funciones polinómicas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen. Funciones constantes El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinómica de primer grado f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Función afín. Función lineal. Función identidad. Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Funciones a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Función parte entera de x. Función mantisa. Función signo. Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: Función racional El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. Funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Función exponencial Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Funciones trigonométricas Función seno f(x) = sen x Función coseno f(x) = cos x Función tangente f(x) = tg x Función cosecante f(x) = cosec x Función secante f(x) = sec x Función cotangente f(x) = cotg x