COMO GRAFICAR FUNCIONES

Gráfica de una función Caso general Para representar una función debemos seguir los siguientes pasos: El primer paso es encontrar el dominio . El segundo paso es encontrar los cortes con los ejes e . El tercer paso es encontrar el signo de la función en los intervalos en los que no existe el dominio o hay un corte con el eje . El cuarto paso es calcular las asíntotas que puede tener la función (horizontales, oblicuas y verticales). El quinto paso es buscar los posibles extremos igualando la primera derivada a 0. El sexto paso es estudiar la monotonía de la función. Es decir, los intervalos en los que crece o decrece. El séptimo paso es encontrar los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a 0. El octavo paso es estudiar la forma (cóncava o convexa) de la función. Ejemplo Vamos a estudiar la representación gráfica de la función . Dominio. Los puntos en los que la función no existe son los que el denominador vale 0. Por lo tanto: Es decir, el dominio será: Cortes con los ejes. Los cortes con el eje se encuentran cuando y el corte con el eje cuando . Por lo tanto: Cortes eje : Cortes eje : Signo. El signo de un intervalo no cambia a menos que haya una discontinuidad o un corte en el eje . Por tanto, para estudiar el signo vamos a usar los intervalos dónde tenemos la seguridad que el signo no va a cambiar, que son los siguientes: Asíntotas. Verticales: Las asíntotas verticales ocurren cuando la función tiende a infinito por un valor real de la variable. Es decir, cuando el denominador es igual a 0. Para encontrarlas debemos hacer el límite cuando tiende a esos valores. Por lo que hay una asíntota vertical y un punto vacío para . Horizontales: Si el límite cuando tiende a un número, decimos que hay asíntota horizontal. Por lo que hay asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda. Además, no habrá ninguna asíntota oblicua. Posibles extremos. Los extremos relativos se encuentran buscando los valores por los que . Por lo tanto, primero debemos encontrar la derivada de la función: Y ahora buscar los valores por los cuales vale cero: No tiene solución, por lo que no habrá extremos relativos. Crecimiento. Vamos a estudiar los intervalos en los que la primera derivada es positiva o negativa, es decir, los intervalos en los que la función crece o decrece. Por lo que la función crece en la totalidad de sus puntos. Puntos de inflexión. A partir de la segunda derivada vamos a encontrar los puntos de inflexión. Igual que antes, no tiene solución, por lo que no hay puntos de inflexión.  Gráfica